Стоимость риска
В экономике и финансах стоимость риска (VaR) является показателем того, как рыночная стоимость актива или портфеля активов может снизиться в течение определенного периода времени (обычно в течении 1 дня или 10 дней) при обычных условиях. Он обычно используется министерством безопасности или инвестиционными банками для измерения рыночного риска их портфелей активов (рыночная стоимость под угрозой), но на самом деле является довольно общей концепцией, которая имеет широкое применение. Из Википедии, бесплатной энциклопедии.
VaR имеет три параметра.
Временной горизонт (период), подлежащий анализу (то есть период времени, в течение которого планируется удерживать активы в портфеле - «период ожидания»). Типичный период ожидания составляет 1 день, хотя 10 дней используются, например, для расчета требований к капиталу в соответствии с Европейской директивой о достаточности капитала (CAD). Для некоторых проблем подходит даже период хранения 1 года.
Уровень достоверности, на котором производится оценка. Популярные уровни доверия обычно составляют 99% и 95%.
Единица валюты, которая будет использоваться для обозначения стоимости под угрозой (VaR).
В этой задаче мы будем использовать фиксированное значение доверительного уровня 95% и доллар Берланда как валютную единицу.
VaR - это максимальная сумма риска, которая может быть потеряна из инвестиций (в «нормальных» рыночных условиях) за определенный период хранения на определенном уровне доверия. Таким образом, это противоположность вероятности дефицита, поскольку он представляет собой сумму, которая будет потеряна с заданной вероятностью, а не вероятность того, что данная сумма будет потеряна.
Рассмотрим пример торгового портфеля. Известна его сегодняшняя рыночная стоимость в долларах Берланда, однако его рыночная стоимость на завтра уже неизвестна. Инвестиционный банк, владеющий этим портфелем, может сообщить, что портфель имеет 1 - дневную VaR в 4 миллиона в течение 1 дня или, другими словами, что с вероятностью 5% стоимость его портфеля уменьшится на $4 миллиона или более в течение 1 дня.
Главное отметить, что целевой уровень уверенности (95% в приведенном выше примере) является заданным параметром; результат расчета ($4 миллиона в приведенном выше примере) представляет собой максимальную сумму риска (значение под риском) для этого уровня достоверности.
В следующем случае возврат означает процентное изменение значения.
Для оценки VaR существует множество моделей. Каждая модель имеет свой собственный набор предположений, но наиболее распространенное предположение заключается в том, что исторические рыночные данные являются нашей лучшей оценкой будущих изменений. Важное предположение о модели «дисперсии-ковариации» (VCV) заключается в том, что доходность факторов риска всегда (совместно) распределяется нормально и что изменение стоимости портфеля зависит от линейной зависимости от всех факторов риска. Существуют модели моделирования «историческое моделирование» и «Монте-Карло», но здесь мы коснемся только модели VCV.
Ниже мы рассмотрим простой случай, когда единственным фактором риска для портфеля является стоимость самих активов. Следующие два предположения позволяют перевести задачу оценки VaR в линейную алгебраическую задачу:
портфель состоит из активов, дельта которых линейны, а точнее: изменение стоимости портфеля линейно зависит от (то есть является линейной комбинацией) всех изменений в значениях активов, так что доходность портфеля также линейно зависит от всех возвратов активов;
совместное распределение возвратов активов является нормальным.
Следствия (1) и (2) заключаются в том, что возврат портфеля нормально распределен, потому что всегда считается что линейная комбинация совместно нормально распределенных переменных сама распределена нормально.
Мы будем использовать следующие обозначения:
имеется N активов;
μ[i]= ожидаемая цена возврата актива i;μ[P]= ожидаемая цена возврата портфолио;σ[i]= стандартное отклонение возврата актива i;σ[P]= стандартное отклонение возврата портфолио;V[i]= начальное значение актива i (в единицах валюты);V[P]= начальное значение портфолио (в единицах валюты);w[i]=V[i]/V[P]w= вектор всехw[i](w^Tозначает транспонирование)Σ= ковариационная матрица, то есть матрица ковариации между всеми N активами, то есть N * N матрица.
Ковариация между двумя вещественными случайными величинами X и Y с ожидаемыми значениями E(X) = μ и E(Y) = υ определяется как: cov(X, Y) = E((X - μ)(Y - υ)), где E оператор ожидаемого значения. Расчет идет следующим образом.
Предположение о нормальности распределения позволяет нам z - масштабировать расчетное стандартное отклонение портфеля до соответствующего уровня достоверности. Таким образом, для 95% уровня уверенности VaR мы получаем:
VaR = -V[P] (μ[P] - 1.644854 σ[P])
Вам будут предоставлены хронологические данные о ценах активов и количестве каждого актива в портфеле. Вы должны рассчитать стоимость риска для этого портфеля.
Входные данные
Первая строка содержит целые числа T и N (1 ≤ T ≤ 10 000, 1 ≤ N ≤ 10). Вторая строка содержит N целых чисел характеризующих качество каждого актива в портфолио. Эти числа целые и не превосходят 1000.
Каждая из следующих T + 1 строк содержит N положительных чисел price^(i)[t] заданных с 2 десятичными цифрами (0 ≤ t ≤ T, 1 ≤ i ≤ N). Первая строка содержит сегодняшние цены на рынке (день 0) за одну единицу соответствующего актива. Следующая строка соответствует предыдущему рабочему дню (день 1) и так далее. Сегодняшние цены должны использоваться для расчета начальной стоимости активов. Возврат актива i в день t равен (price^(i)[t-1] - price^(i)[t]) / price^(i)[t].
Цены положительны и не превосходят 100 000.00.
Выходные данные
Выведите одно число - значение VaR для входных данных. Ответ должен быть выведен с точностью до 10^(-2).