Вартість ризику

У сфері економіки та фінансів вартість під ризиком (VaR) є показником того, наскільки може знизитися ринкова вартість активу або портфеля активів протягом певного періоду часу (зазвичай 1 або 10 днів) за звичайних умов. Цей показник часто використовується міністерствами безпеки або інвестиційними банками для оцінки ринкового ризику їхніх портфелів активів (ринкова вартість під загрозою), але насправді є досить універсальною концепцією з широким застосуванням. Інформація взята з Вікіпедії, безкоштовної енциклопедії.

VaR визначається трьома параметрами:

• Часовий горизонт (період), що підлягає аналізу (тобто період, протягом якого планується утримувати активи в портфелі - «період очікування»). Зазвичай це 1 день, хоча 10 днів використовуються, наприклад, для розрахунку вимог до капіталу згідно з Європейською директивою про достатність капіталу (CAD). Для деяких задач підходить навіть період утримання 1 рік.

• Рівень довіри, на якому проводиться оцінка. Популярні рівні довіри зазвичай становлять 99% і 95%.

• Валюта, в якій буде виражена вартість під ризиком (VaR).

У цій задачі ми використовуємо фіксований рівень довіри 95% і долар Берланда як валюту.

VaR - це максимальна сума ризику, яка може бути втрачена з інвестицій (в «нормальних» ринкових умовах) за певний період утримання на певному рівні довіри. Це протилежність ймовірності дефіциту, оскільки він представляє собою суму, яка буде втрачена з заданою ймовірністю, а не ймовірність того, що дана сума буде втрачена.

Розглянемо приклад торгового портфеля. Відома його сьогоднішня ринкова вартість у доларах Берланда, але його ринкова вартість на завтра вже невідома. Інвестиційний банк, що володіє цим портфелем, може повідомити, що портфель має 1-денну VaR у $4\ast \ast мільйониприрівнідовіри\ast \ast 95$4 мільйони протягом 1 дня або, іншими словами, що з ймовірністю 5% вартість його портфеля зменшиться на $4 мільйони або більше протягом 1 дня.

Важливо зазначити, що цільовий рівень впевненості (95% у наведеному прикладі) є заданим параметром; результат розрахунку ($4 мільйони у наведеному прикладі) представляє собою максимальну суму ризику (значення під ризиком) для цього рівня довіри.

У наступному випадку повернення означає процентну зміну значення.

Існує безліч моделей для оцінки VaR. Кожна модель має свій набір припущень, але найбільш поширене припущення полягає в тому, що історичні ринкові дані є нашою найкращою оцінкою майбутніх змін. Важливе припущення моделі «дисперсії-коваріації» (VCV) полягає в тому, що дохідність факторів ризику завжди (спільно) розподіляється нормально і що зміна вартості портфеля залежить від лінійної залежності від усіх факторів ризику. Існують моделі «історичного моделювання» і «Монте-Карло», але тут ми розглянемо лише модель VCV.

Нижче ми розглянемо простий випадок, коли єдиним фактором ризику для портфеля є вартість самих активів. Наступні два припущення дозволяють перевести задачу оцінки VaR в лінійну алгебраїчну задачу:

1. Портфель складається з активів, дельта яких лінійні, а точніше: зміна вартості портфеля лінійно залежить від (тобто є лінійною комбінацією) всіх змін у значеннях активів, так що дохідність портфеля також лінійно залежить від усіх повернень активів;

2. Спільний розподіл повернень активів є нормальним.

Наслідки (1) і (2) полягають у тому, що повернення портфеля нормально розподілене, оскільки завжди вважається, що лінійна комбінація спільно нормально розподілених змінних сама розподілена нормально.

Ми будемо використовувати наступні позначення:

• є N активів;

• μ[i] = очікувана ціна повернення активу i;

• μ[P] = очікувана ціна повернення портфоліо;

• σ[i] = стандартне відхилення повернення активу i;

• σ[P] = стандартне відхилення повернення портфоліо;

• V[i] = початкове значення активу i (в одиницях валюти);

• V[P] = початкове значення портфоліо (в одиницях валюти);

• w[i] = V[i] / V[P]

• w = вектор всіх w[i] (w^T означає транспонування)

• Σ = коваріаційна матриця, тобто матриця коваріації між усіма N активами, тобто N * N матриця.

Коваріація між двома дійсними випадковими величинами X і Y з очікуваними значеннями E(X) = μ і E(Y) = υ визначається як: cov(X, Y) = E((X - μ)(Y - υ)), де E оператор очікуваного значення. Розрахунок йде наступним чином.

Припущення про нормальність розподілу дозволяє нам z-масштабувати розраховане стандартне відхилення портфеля до відповідного рівня довіри. Таким чином, для 95% рівня впевненості VaR ми отримуємо:

VaR = -V[P] (μ[P] - 1.644854 σ[P])

Вам будуть надані хронологічні дані про ціни активів і кількість кожного активу в портфелі. Ви повинні розрахувати вартість ризику для цього портфеля.

Вхідні дані

Перша рядок містить цілі числа T і N (1 ≤ T ≤ 10 000, 1 ≤ N ≤ 10). Друга рядок містить N цілих чисел, що характеризують кількість кожного активу в портфелі. Ці числа цілі і не перевищують 1000.

Кожен з наступних T + 1 рядків містить N додатних чисел price^(i)[t] заданих з 2 десятковими цифрами (0 ≤ t ≤ T, 1 ≤ i ≤ N). Перший рядок містить сьогоднішні ціни на ринку (день 0) за одну одиницю відповідного активу. Наступний рядок відповідає попередньому робочому дню (день 1) і так далі. Сьогоднішні ціни повинні використовуватися для розрахунку початкової вартості активів. Повернення активу i в день t дорівнює (price^(i)[t-1] - price^(i)[t]) / price^(i)[t].

Ціни додатні і не перевищують 100 000.00.

Вихідні дані

Виведіть одне число - значення VaR для вхідних даних. Відповідь повинна бути виведена з точністю до 10^(-2).

Приклади