Разбор

Рассмотрим последовательность из $n$ единиц: $\mathrm{111...11}$. Между любыми двумя единицами можно вставить знак ‘$+$’. Например $11+111+1$. Такая запись будет обозначать сумму $2+3+1$, где каждое слагаемое – количество единиц, стоящих рядом. Количество позиций, куда можно вставить знак ‘$+$’, равно $n–1$. Поскольку необходимо получить сумму из $k$ слагаемых, то следует вставить $k–1$ знак ‘$+$’.

Нам следует вставить $k–1$ плюс на $n–1$ место. Это можно сделать $C_{n-1}^{k-1}$ способами.

Пример

Рассмотрим уравнение $x_1+x_2+x_3=4$. Оно имеет $3$ положительных целочисленных решения: $(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)$.

Например, $n=4$ единицы на $k=3$ слагаемых можно разбить $C_2^3=3$ способами:

Реализация алгоритма

Функция Cnk вычисляет значение биномиального коэффициента $C_n^k$.

long long Cnk(long long k, long long n)
{
  long long res = 1;
  if (k > n - k) k = n - k;
  for (long long i = 1; i <= k; i++)
    res = res * (n - i + 1) / i;
  return res;
}

Основная часть программы. Читаем входные данные.

scanf("%lld %lld", &k, &n);

Вычисляем и выводим ответ $C_{n-1}^{k-1}$.

res = Cnk(k - 1, n - 1);
printf("%lld\n", res);

Python реализация

import math

Читаем входные данные.

k, n = map(int,input().split())

Вычисляем и выводим ответ $C_{n-1}^{k-1}$.

res = math.comb(n - 1, k - 1)
print(res)